Questão de Matemática #019f69c7

Para determinar a distribuição da variável aleatória $X=-2\ln (Y)$, sabendo que $Y$ possui distribuição uniforme no intervalo $(0,1)$, utilizamos o método da Função de Distribuição Acumulada (FDA).

Passo 1: Identificar a FDA de $Y$
Como $Y\sim U(0,1)$, sua função de distribuição acumulada $F_Y(y)$ é dada por:
F_Y(y) = y \quad \text{para } 0 < y < 1

Passo 2: Determinar o suporte de $X$
Como 0 < Y < 1, temos que:
\ln(Y) < 0 \implies -2\ln(Y) > 0
Portanto, o suporte de $X$ é x > 0.

Passo 3: Encontrar a FDA de $X$, denotada por $F_X(x)$
Para x > 0:
$F_X(x)=P(X\le x)=P(-2\ln (Y)\le x)$

Isolando $Y$ na desigualdade:
$\ln (Y)\ge -\frac{x}{2}$
Aplicando a função exponencial (que é estritamente crescente) em ambos os lados:
$Y\ge e^{-x/2}$

Portanto:
F_X(x) = P\left(Y \ge e^{-x/2}\right) = 1 - P\left(Y < e^{-x/2}\right)

Como $F_Y(y)=y$ para $y\in (0,1)$, e sabendo que $e^{-x/2}\in (0,1)$ para x > 0, temos:
$F_X(x)=1-e^{-x/2}$

Passo 4: Obter a Função Densidade de Probabilidade (FDP) de $X$
Derivando $F_X(x)$ em relação a $x$:
f_X(x) = \frac{d}{dx}\left(1 - e^{-x/2}\right) = \frac{1}{2} e^{-x/2} \quad \text{para } x > 0

Passo 5: Identificar a distribuição correspondente
A FDP obtida, $f_X(x)=\frac{1}{2}{e}^{-x/2}$, é a densidade de uma distribuição Exponencial com parâmetro de taxa $\lambda =\frac{1}{2}$ (ou seja, média $\beta =\frac{1}{\lambda }=2$).

Na estatística, existe uma relação direta entre a distribuição Exponencial e a distribuição Qui-quadrado (${\chi }^2$):

• A distribuição Qui-quadrado com $\nu$ graus de liberdade é um caso especial da distribuição Gama: ${\chi }_{\nu }^2\sim \text{Gama}\left(\frac{\nu }{2},\frac{1}{2}\right)$, onde o primeiro parâmetro é a forma e o segundo é a taxa.
• Para $\nu =2$ graus de liberdade, temos: ${\chi }_2^2\sim \text{Gama}\left(1,\frac{1}{2}\right)$.
• Uma distribuição $\text{Gama}(1,\lambda )$ é identicamente uma distribuição $\text{Exponencial}(\lambda )$.

Logo, a distribuição Exponencial com taxa $\lambda =\frac{1}{2}$ é exatamente equivalente a uma distribuição Qui-quadrado com 2 graus de liberdade (${\chi }_2^2$).

Portanto, a alternativa correta é a E.