Questão de Matemática #019f69c7

Para determinar o conjunto $P$, que é a união infinita dos conjuntos $P_n$, devemos analisar o comportamento dos conjuntos à medida que $n$ cresce de $1$ a $+\infty$.

Os conjuntos $P_n$ são intervalos fechados da forma:
$P_n=\left[\frac{1}{n},1\right]$

Vamos listar os primeiros termos dessa sequência de conjuntos para compreender o comportamento do intervalo:

• Para $n=1$: $P_1=\left[\frac{1}{1},1\right]=[1,1]=\{1\}$
• Para $n=2$: $P_2=\left[\frac{1}{2},1\right]=[0.5,1]$
• Para $n=3$: $P_3=\left[\frac{1}{3},1\right]\approx [0.33,1]$
• Para $n=4$: $P_4=\left[\frac{1}{4},1\right]=[0.25,1]$

Observe que, à medida que $n$ cresce, o limite inferior $\frac{1}{n}$ se aproxima de $0$, expandindo o intervalo para a esquerda, enquanto o limite superior permanece fixo em $1$. Temos uma sequência crescente de conjuntos, ou seja, $P_1\subset P_2\subset P_3\subset \dots$.

A união infinita desses conjuntos é definida por:
$P={\bigcup }_{n=1}^{\infty }{P}_n={\bigcup }_{n=1}^{\infty }\left[\frac{1}{n},1\right]$

Para que um número real $x$ pertença a $P$, ele deve pertencer a pelo menos um dos conjuntos $P_n$.

1. Análise do elemento $0$:
   Para qualquer número natural $n\ge 1$, temos que \frac{1}{n} > 0. Portanto, o número $0$ nunca pertence a nenhum dos intervalos $P_n$. Logo, $0\notin P$. Isso significa que o intervalo resultante deve ser aberto em $0$.

2. Análise de elementos maiores que $0$ (e menores ou iguais a $1$):
   Seja $x$ um número real tal que 0 < x \le 1. Pela Propriedade Arquimediana dos números reais, sempre existirá um número natural $n$ suficientemente grande tal que \frac{1}{n} < x.
   Como \frac{1}{n} < x \le 1, esse elemento $x$ pertencerá ao conjunto $P_n$. Consequentemente, $x$ pertence à união infinita $P$.

3. Análise do elemento $1$:
   Como $1\in P_n$ para todo $n\ge 1$, o número $1$ pertence à união. Logo, o intervalo é fechado em $1$.

Unindo essas conclusões, o conjunto $P$ é o intervalo semiaberto:
$P=(0,1]$

Portanto, a alternativa correta é a C.