Matemática e suas Tecnologias Question #019e5c02

A questão trata de otimização: dado um perímetro fixo de 100 m para a base retangular do viveiro, deseja-se maximizar a área. Sejam $x$ e $y$ as dimensões da base. O perímetro é $2x+2y=100$, logo $x+y=50$. A área é $A=x\cdot y$. Substituindo $y=50-x$, temos $A(x)=x(50-x)=50x-x^2$, que é uma função quadrática com concavidade para baixo. O valor máximo ocorre no vértice: $x=-b/(2a)=-50/(2\cdot (-1))=25$. Então $y=50-25=25$. Portanto, as dimensões que maximizam a área são $x=25$ m e $y=25$ m, formando um quadrado.

A alternativa que apresenta 1 e 49 está incorreta, pois embora a soma seja 50, a área resultante é $1\cdot 49=49$ m², menor que a máxima de $25\cdot 25=625$ m². A alternativa 1 e 99 está incorreta, pois a soma é 100, não respeitando o perímetro de 100 m (pois $2\cdot 1+2\cdot 99=200$). A alternativa 10 e 10 está incorreta, pois a soma é 20, resultando em perímetro de 40 m, não utilizando toda a tela. A alternativa 50 e 50 está incorreta, pois a soma é 100, resultando em perímetro de 200 m, excedendo o disponível. Apenas a alternativa com 25 e 25 satisfaz a condição de perímetro e maximiza a área.