Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5c02
Viveiros de lagostas são construídos, por cooperativas locais de pescadores, em formato de prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares dessa tela, que é usada apenas nas laterais.
Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro, para que a área da base do viveiro seja máxima?
1 e 49
1 e 99
10 e 10
25 e 25
50 e 50
Explicação Oficial / Explicações da Comunidade
A questão trata de otimização: dado um perímetro fixo de 100 m para a base retangular do viveiro, deseja-se maximizar a área. Sejam x e y as dimensões da base. O perímetro é 2x+2y=100, logo x+y=50. A área é A=x⋅y. Substituindo y=50−x, temos A(x)=x(50−x)=50x−x2, que é uma função quadrática com concavidade para baixo. O valor máximo ocorre no vértice: x=−b/(2a)=−50/(2⋅(−1))=25. Então y=50−25=25. Portanto, as dimensões que maximizam a área são x=25 m e y=25 m, formando um quadrado.
A alternativa que apresenta 1 e 49 está incorreta, pois embora a soma seja 50, a área resultante é 1⋅49=49 m², menor que a máxima de 25⋅25=625 m². A alternativa 1 e 99 está incorreta, pois a soma é 100, não respeitando o perímetro de 100 m (pois 2⋅1+2⋅99=200). A alternativa 10 e 10 está incorreta, pois a soma é 20, resultando em perímetro de 40 m, não utilizando toda a tela. A alternativa 50 e 50 está incorreta, pois a soma é 100, resultando em perímetro de 200 m, excedendo o disponível. Apenas a alternativa com 25 e 25 satisfaz a condição de perímetro e maximiza a área.