Matemática e suas Tecnologias Question #019e5c05

A arrecadação diária é dada por $R=p\cdot q=p\cdot (400-100p)=400p-100p^2$. A arrecadação média atual é de R$ 300,00, então queremos que a nova arrecadação seja no mínimo R$ 300,00, ou seja, $400p-100p^2\ge 300$. Dividindo por 100: $4p-p^2\ge 3$, ou $-p^2+4p-3\ge 0$. Multiplicando por -1: $p^2-4p+3\le 0$. As raízes da equação $p^2-4p+3=0$ são $p=1$ e $p=3$. A inequação $p^2-4p+3\le 0$ é satisfeita para $1\le p\le 3$. Além disso, para maximizar a quantidade vendida $q=400-100p$, devemos minimizar $p$, pois $q$ é decrescente em $p$. Portanto, o menor preço possível dentro do intervalo que mantém a arrecadação é $p=1$. Assim, o preço deve estar no intervalo $1\le p<1,5$ (pois $p=1,5$ já daria arrecadação menor que 300? Verificando: $p=1,5$ dá $q=250$, arrecadação $375$, que é maior que 300, então na verdade $p$ pode ser até 3. Mas a questão pede o intervalo que contém o preço que maximiza $q$ sem diminuir a arrecadação. O preço que maximiza $q$ é o menor possível, que é $p=1$. Portanto, o preço deve estar no intervalo que contém $1$, que é $0,50\le p<1,50$. As demais alternativas estão incorretas: a opção B ($1,50\le p<2,50$) não contém $p=1$; a opção C ($2,50\le p<3,50$) contém preços que dão arrecadação maior ou igual a 300, mas não maximizam $q$; a opção D ($3,50\le p<4,50$) e a opção E ($4,50\le p<5,50$) resultam em arrecadação inferior a 300 (por exemplo, $p=4$ dá $q=0$, arrecadação 0).