Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5c05

Enunciado da Questão

Matemática e suas Tecnologias

#Funções

Médio

Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com a equação $q = 400 - 100 p$ , na qual $q$ representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente e $p$ , o seu preço em reais. A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto.

O preço $p$ , em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no intervalo

$R\$ 0,50 \le p < R$ 1,50$

Correta

$R\$ 1,50 \le p < R$ 2,50$

$R\$ 2,50 \le p < R$ 3,50$

$R\$ 3,50 \le p < R$ 4,50$

$R\$ 4,50 \le p < R$ 5,50$

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

A arrecadação diária é dada por $R = p \cdot q = p \cdot (400 - 100 p) = 400 p - 100 p^{2}$ . A arrecadação média atual é de R$ 300,00, então queremos que a nova arrecadação seja no mínimo R$ 300,00, ou seja, $400 p - 100 p^{2} \geq 300$ . Dividindo por 100: $4 p - p^{2} \geq 3$ , ou $- p^{2} + 4 p - 3 \geq 0$ . Multiplicando por -1: $p^{2} - 4 p + 3 \leq 0$ . As raízes da equação $p^{2} - 4 p + 3 = 0$ são $p = 1$ e $p = 3$ . A inequação $p^{2} - 4 p + 3 \leq 0$ é satisfeita para $1 \leq p \leq 3$ . Além disso, para maximizar a quantidade vendida $q = 400 - 100 p$ , devemos minimizar $p$ , pois $q$ é decrescente em $p$ . Portanto, o menor preço possível dentro do intervalo que mantém a arrecadação é $p = 1$ . Assim, o preço deve estar no intervalo $1 \leq p < 1, 5$ (pois $p = 1, 5$ já daria arrecadação menor que 300? Verificando: $p = 1, 5$ dá $q = 250$ , arrecadação $375$ , que é maior que 300, então na verdade $p$ pode ser até 3. Mas a questão pede o intervalo que contém o preço que maximiza $q$ sem diminuir a arrecadação. O preço que maximiza $q$ é o menor possível, que é $p = 1$ . Portanto, o preço deve estar no intervalo que contém $1$ , que é $0, 50 \leq p < 1, 50$ . As demais alternativas estão incorretas: a opção B ( $1, 50 \leq p < 2, 50$ ) não contém $p = 1$ ; a opção C ( $2, 50 \leq p < 3, 50$ ) contém preços que dão arrecadação maior ou igual a 300, mas não maximizam $q$ ; a opção D ( $3, 50 \leq p < 4, 50$ ) e a opção E ( $4, 50 \leq p < 5, 50$ ) resultam em arrecadação inferior a 300 (por exemplo, $p = 4$ dá $q = 0$ , arrecadação 0).