Matemática e suas Tecnologias Question #019e5c05

A taxa de cobertura é a porcentagem da área do vidro coberta pelas fitas. Como as fitas são dispostas em uma malha regular, a taxa de cobertura é a mesma para qualquer região quadrada de lado $d$ (distância entre centros das fitas). Em um quadrado de lado $d$, a área total é $d^2$. A área coberta pelas fitas é a área das fitas dentro desse quadrado: uma faixa vertical de largura 1 mm e altura $d$, e uma faixa horizontal de largura 1 mm e comprimento $d$, mas a interseção (um quadrado de $1\times 1$) é contada duas vezes, então subtraímos uma vez. Assim, área coberta = $d\cdot 1+d\cdot 1-1\cdot 1=2d-1$. A taxa de cobertura é $\frac{2d-1}{d^2}$. Queremos que seja 75% = 0,75. Então $\frac{2d-1}{d^2}=0,75$. Multiplicando: $2d-1=0,75d^2$. Rearranjando: $0,75d^2-2d+1=0$. Multiplicando por 4: $3d^2-8d+4=0$. Resolvendo: $\Delta =64-48=16$, $d=\frac{8\pm 4}{6}$. As raízes são $d=2$ e $d=\frac{2}{3}$. Como $d$ deve ser maior que 1 (distância entre fitas é $d-1$, que deve ser positiva), $d=2$ é a solução válida. Portanto, a resposta correta é 2.

A opção 1 resultaria em taxa de cobertura $\frac{2\cdot 1-1}{1^2}=1=100\%$, maior que 75%.
A opção 3 resulta em $\frac{2\cdot 3-1}{3^2}=\frac{5}{9}\approx 55,6\%$, menor que 75%.
A opção 4 resulta em $\frac{2\cdot 4-1}{4^2}=\frac{7}{16}=43,75\%$, menor que 75%.
A opção $\frac{3}{2}=1,5$ resulta em $\frac{2\cdot 1,5-1}{1,5^2}=\frac{2}{2,25}\approx 88,9\%$, maior que 75%.