Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5c05

Enunciado de la Pregunta

Matemática e suas Tecnologias

#Geometria Plana

Medio

Uma indústria produz malhas de proteção solar para serem aplicadas em vidros, de modo a diminuir a passagem de luz, a partir de fitas plásticas entrelaçadas perpendicularmente. Nas direções vertical e horizontal, são aplicadas fitas de 1 milímetro de largura, tal que a distância entre elas é de (d − 1) milímetros, conforme a figura. O material utilizado não permite a passagem da luz, ou seja, somente o raio de luz que atingir as lacunas deixadas pelo entrelaçamento consegue transpor essa proteção.
A taxa de cobertura do vidro é o percentual da área da região coberta pelas fitas da malha, que são colocadas paralelamente às bordas do vidro.

Essa indústria recebeu a encomenda de uma malha de proteção solar para ser aplicada em um vidro retangular de 5 m de largura por 9 m de comprimento.
A medida de d, em milímetros, para que a taxa de cobertura da malha seja de 75% é

Correcto

3/2

Explicación Oficial / Explicaciones de la Comunidad

A taxa de cobertura é a porcentagem da área do vidro coberta pelas fitas. Como as fitas são dispostas em uma malha regular, a taxa de cobertura é a mesma para qualquer região quadrada de lado $d$ (distância entre centros das fitas). Em um quadrado de lado $d$ , a área total é $d^{2}$ . A área coberta pelas fitas é a área das fitas dentro desse quadrado: uma faixa vertical de largura 1 mm e altura $d$ , e uma faixa horizontal de largura 1 mm e comprimento $d$ , mas a interseção (um quadrado de $1 \times 1$ ) é contada duas vezes, então subtraímos uma vez. Assim, área coberta = $d \cdot 1 + d \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 2 d - 1$ . A taxa de cobertura é $\frac{2 d - 1}{d ^{2}}$ . Queremos que seja 75% = 0,75. Então $\frac{2 d - 1}{d ^{2}} = 0, 75$ . Multiplicando: $2 d - 1 = 0, 75 d^{2}$ . Rearranjando: $0, 75 d^{2} - 2 d + 1 = 0$ . Multiplicando por 4: $3 d^{2} - 8 d + 4 = 0$ . Resolvendo: $Δ = 64 - 48 = 16$ , $d = \frac{8 \pm 4}{6}$ . As raízes são $d = 2$ e $d = \frac{2}{3}$ . Como $d$ deve ser maior que 1 (distância entre fitas é $d - 1$ , que deve ser positiva), $d = 2$ é a solução válida. Portanto, a resposta correta é 2.

A opção 1 resultaria em taxa de cobertura $\frac{2 \cdot 1 - 1}{1 ^{2}} = 1 = 100%$ , maior que 75%.
A opção 3 resulta em $\frac{2 \cdot 3 - 1}{3 ^{2}} = \frac{5}{9} \approx 55, 6%$ , menor que 75%.
A opção 4 resulta em $\frac{2 \cdot 4 - 1}{4 ^{2}} = \frac{7}{16} = 43, 75%$ , menor que 75%.
A opção $\frac{3}{2} = 1, 5$ resulta em $\frac{2 \cdot 1 , 5 - 1}{1 , 5 ^{2}} = \frac{2}{2 , 25} \approx 88, 9%$ , maior que 75%.

Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5c05

Explicación Oficial / Explicaciones de la Comunidad

Explicação Oficial