Matemática Question #019f69c5

Para analisar a equivalência da proposição $P_1$, vamos traduzi-la para a linguagem da lógica proposicional.

Definimos as seguintes proposições simples:

• $p$: A fiscalização foi deficiente.
• $q$: As falhas construtivas foram corrigidas.
• $\neg q$: As falhas construtivas não foram corrigidas.

A proposição $P_1$ original é uma condicional ("Se..., então..."):
$P_1:p\to \neg q$

Agora, vamos analisar a proposição proposta para equivalência:

• "Não é verdade que a fiscalização foi deficiente e que as falhas construtivas foram corrigidas."

Essa sentença representa a negação de uma conjunção (estrutura "Não é verdade que ($p$ e $q$)"):
$\neg (p\wedge q)$

Para verificar se as duas fórmulas são logicamente equivalentes, podemos transformá-las utilizando as propriedades da lógica proposicional:

1. Equivalência da Condicional:
   Uma condicional $A\to B$ é logicamente equivalente a $\neg A\vee B$.
   Aplicando essa propriedade a $P_1$ ($p\to \neg q$):
   $p\to \neg q\equiv \neg p\vee \neg q$

2. Leis de De Morgan:
   A primeira lei de De Morgan estabelece que a negação de uma conjunção é equivalente à disjunção das negações:
   $\neg (p\wedge q)\equiv \neg p\vee \neg q$

Como ambas as expressões resultam na mesma forma lógica ($\neg p\vee \neg q$), conclui-se que:
$(p\to \neg q)\equiv \neg (p\wedge q)$

Portanto, a proposição dada é de fato equivalente a $P_1$, tornando o item Certo (C).