Matemática Question #019f69c6

Para resolver esta questão, devemos analisar as possibilidades para os três dígitos numéricos da placa de modo que a sua soma seja maior ou igual a 26, e em seguida aplicar o Princípio da Casa dos Pombos (ou Princípio das Gavetas de Dirichlet).

Passo 1: Determinar as combinações possíveis de dígitos
Cada um dos 3 dígitos numéricos da placa pode variar de $0$ a $9$. Queremos encontrar todas as sequências de três dígitos $(d_1,d_2,d_3)$ cuja soma seja maior ou igual a 26:
$d_1+d_2+d_3\ge 26$

O valor máximo absoluto para a soma de três dígitos de $0$ a $9$ é:
$9+9+9=27$

Portanto, as únicas somas possíveis que são maiores ou iguais a 26 são 27 e 26. Vamos listar as possibilidades para cada caso:

1. Soma igual a 27:
   A única possibilidade é que todos os três dígitos sejam iguais a 9.

   • $(9,9,9)$ $\to$ 1 possibilidade

2. Soma igual a 26:
   Para somar 26, devemos ter dois dígitos iguais a 9 e um dígito igual a 8. As ordenações possíveis são:

   • $(9,9,8)$
   • $(9,8,9)$
   • $(8,9,9)$
     $\to$ 3 possibilidades

Somando os dois casos, temos um total de $1+3=4$ sequências numéricas distintas de três dígitos que atendem ao critério estabelecido.

Passo 2: Aplicar o Princípio da Casa dos Pombos
Temos:

• "Pombos" (veículos fiscalizados): $1.000$
• "Casas" (combinações numéricas válidas): $4$

Para encontrar o número mínimo de veículos que necessariamente compartilharão a mesma combinação de dígitos nas mesmas posições, dividimos o total de veículos pelo número de combinações disponíveis:
$\frac{1.000\text{ veıˊculos}}{4\text{ combinac¸o˜es}}=250\text{ veıˊculos por combinac¸a˜o}$

Pelo Princípio da Casa dos Pombos, se distribuirmos os $1.000$ veículos entre as $4$ combinações possíveis, a distribuição mais uniforme possível resultará em exatamente $250$ veículos para cada uma das $4$ combinações. Se qualquer veículo adicional for colocado em qualquer grupo, esse grupo passará a ter mais de $250$ veículos.

Portanto, é matematicamente garantido que pelo menos 250 placas terão exatamente os mesmos dígitos numéricos nas mesmas posições.

O item está, portanto, Certo.