(Q59) Em determinado dia, 1.000 veículos de carga, com seus respectivos condutores e cargas, passaram por um posto de fiscalização de fronteira. Desses, 800 estavam com a documentação em situação...

(Q59) Em determinado dia, 1.000 veículos de carga, c... | Pregunta de Matemática

Para resolver esta questão, devemos analisar as possibilidades para os três dígitos numéricos da placa de modo que a sua soma seja maior ou igual a 26, e em seguida aplicar o Princípio da Casa dos Pombos (ou Princípio das Gavetas de Dirichlet).

Passo 1: Determinar as combinações possíveis de dígitos
Cada um dos 3 dígitos numéricos da placa pode variar de $0$ a $9$ . Queremos encontrar todas as sequências de três dígitos $(d_{1}, d_{2}, d_{3})$ cuja soma seja maior ou igual a 26:
$d_{1} + d_{2} + d_{3} \geq 26$

O valor máximo absoluto para a soma de três dígitos de $0$ a $9$ é:
$9 + 9 + 9 = 27$

Portanto, as únicas somas possíveis que são maiores ou iguais a 26 são 27 e 26. Vamos listar as possibilidades para cada caso:

Soma igual a 27:
A única possibilidade é que todos os três dígitos sejam iguais a 9.
- $(9, 9, 9)$ $\to$ 1 possibilidade
Soma igual a 26:
Para somar 26, devemos ter dois dígitos iguais a 9 e um dígito igual a 8. As ordenações possíveis são:
- $(9, 9, 8)$
- $(9, 8, 9)$
- $(8, 9, 9)$
  $\to$ 3 possibilidades

Somando os dois casos, temos um total de $1 + 3 = 4$ sequências numéricas distintas de três dígitos que atendem ao critério estabelecido.

Passo 2: Aplicar o Princípio da Casa dos Pombos
Temos:

"Pombos" (veículos fiscalizados): $1.000$
"Casas" (combinações numéricas válidas): $4$

Para encontrar o número mínimo de veículos que necessariamente compartilharão a mesma combinação de dígitos nas mesmas posições, dividimos o total de veículos pelo número de combinações disponíveis:
$\frac{1.000 ve ı ˊ culos}{4 combina c ¸ o ˜ es} = 250 ve \overset{ı}{ˊ} culos por combina \overset{c}{¸} \overset{a}{˜} o$

Pelo Princípio da Casa dos Pombos, se distribuirmos os $1.000$ veículos entre as $4$ combinações possíveis, a distribuição mais uniforme possível resultará em exatamente $250$ veículos para cada uma das $4$ combinações. Se qualquer veículo adicional for colocado em qualquer grupo, esse grupo passará a ter mais de $250$ veículos.

Portanto, é matematicamente garantido que pelo menos 250 placas terão exatamente os mesmos dígitos numéricos nas mesmas posições.

O item está, portanto, Certo.

Pregunta de Matemática #019f69c6

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