Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5c01

A área do passeio é a diferença entre a área da praça (círculo maior) e a área do chafariz (círculo menor). Sejam $R$ o raio da praça e $r$ o raio do chafariz. A trena é tangente ao chafariz e seus extremos tocam a borda da praça. O segmento $AB$ mede $16\text{ m}$. Pela figura, $AB$ é uma corda da praça que é tangente ao chafariz. A distância do centro ao ponto de tangência é $r$. A distância do centro à corda $AB$ é $r$ (pois a tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência). Assim, a corda $AB$ está a uma distância $r$ do centro. Em um círculo de raio $R$, uma corda a uma distância $d$ do centro tem comprimento $2\sqrt{R^2-d^2}$. Aqui, $d=r$ e comprimento $=16$, então $2\sqrt{R^2-r^2}=16\to \sqrt{R^2-r^2}=8\to R^2-r^2=64$. A área do passeio é $\pi R^2-\pi r^2=\pi (R^2-r^2)=64\pi$. Portanto, a resposta correta é $64\pi$. As demais alternativas não satisfazem a relação obtida: $4\pi$, $8\pi$, $48\pi$ e $192\pi$ são valores que não correspondem a $64\pi$.