Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5c01

Enunciado da Questão

Matemática e suas Tecnologias

#Geometria Plana

Médio

A figura mostra uma praça circular que contém um chafariz em seu centro e, em seu entorno, um passeio. Os círculos que definem a praça e o chafariz são concêntricos.

O passeio terá seu piso revestido com ladrilhos. Sem condições de calcular os raios, pois o chafariz está cheio, um engenheiro fez a seguinte medição: esticou uma trena tangente ao chafariz, medindo a distância entre dois pontos $A$ e $B$ , conforme a figura. Com isso, obteve a medida do segmento de reta $A B$ : $16 m$ .
Dispondo apenas dessa medida, o engenheiro calculou corretamente a medida da área do passeio, em metro quadrado.

A medida encontrada pelo engenheiro foi

$4 π$

$8 π$

$48 π$

$64 π$

Correta

$192 π$

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

A área do passeio é a diferença entre a área da praça (círculo maior) e a área do chafariz (círculo menor). Sejam $R$ o raio da praça e $r$ o raio do chafariz. A trena é tangente ao chafariz e seus extremos tocam a borda da praça. O segmento $A B$ mede $16 m$ . Pela figura, $A B$ é uma corda da praça que é tangente ao chafariz. A distância do centro ao ponto de tangência é $r$ . A distância do centro à corda $A B$ é $r$ (pois a tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência). Assim, a corda $A B$ está a uma distância $r$ do centro. Em um círculo de raio $R$ , uma corda a uma distância $d$ do centro tem comprimento $2 R^{2} - d^{2}$ . Aqui, $d = r$ e comprimento $= 16$ , então $2 R^{2} - r^{2} = 16 \to R^{2} - r^{2} = 8 \to R^{2} - r^{2} = 64$ . A área do passeio é $π R^{2} - π r^{2} = π (R^{2} - r^{2}) = 64 π$ . Portanto, a resposta correta é $64 π$ . As demais alternativas não satisfazem a relação obtida: $4 π$ , $8 π$ , $48 π$ e $192 π$ são valores que não correspondem a $64 π$ .