Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5c03

A família deseja que o imóvel tenha a mesma distância de percurso (caminhando apenas na horizontal e vertical) até três pontos: trabalho da mãe (rua 6 com rua E), consultório do pai (rua 2 com rua E) e escola (rua 4 com rua A). Como as ruas formam uma malha quadriculada, a distância entre dois pontos é a soma das diferenças absolutas nas coordenadas (distância de Manhattan). Vamos representar as coordenadas: considere as ruas numeradas como coordenada $y$ (1 a 6) e as ruas com letras como coordenada $x$ (A=1, B=2, C=3, D=4, E=5). Assim, os pontos são: Mãe: $(5,6)$, Pai: $(5,2)$, Escola: $(1,4)$. Queremos um ponto $(x,y)$ tal que a soma das distâncias até esses três pontos seja igual? Na verdade, a condição é que a distância do imóvel até cada um dos três pontos seja a mesma. Ou seja, $d((x,y),(5,6))=d((x,y),(5,2))=d((x,y),(1,4))$.

Primeiro, igualando as distâncias ao pai e à mãe: $|x-5|+|y-2|=|x-5|+|y-6|$. Cancelando $|x-5|$, temos $|y-2|=|y-6|$. Isso implica que $y$ está a igual distância de 2 e 6, ou seja, $y=4$ (ponto médio).

Agora, igualando a distância à escola com a distância ao pai (ou mãe): $|x-1|+|y-4|=|x-5|+|y-2|$. Como $y=4$, temos $|x-1|+0=|x-5|+2$. Então $|x-1|=|x-5|+2$. Testando valores: se $x\ge 5$, $x-1=x-5+2\Rightarrow x-1=x-3$, impossível. Se $x\le 1$, $1-x=5-x+2\Rightarrow 1-x=7-x$, impossível. Se $1<x<5$, $x-1=5-x+2\Rightarrow x-1=7-x\Rightarrow 2x=8\Rightarrow x=4$. Portanto, $x=4$ e $y=4$, que corresponde à rua 4 com rua D (pois D=4).

Verificando as distâncias: até o pai: $|4-5|+|4-2|=1+2=3$; até a mãe: $|4-5|+|4-6|=1+2=3$; até a escola: $|4-1|+|4-4|=3+0=3$. Todas iguais.

As demais alternativas não satisfazem a condição de igualdade das três distâncias. Por exemplo, a opção 3 e C (rua 3 com rua C) daria distâncias diferentes. A opção 4 e C (rua 4 com rua C) teria $x=3$, $y=4$: distância ao pai: $|3-5|+|4-2|=2+2=4$; à mãe: $|3-5|+|4-6|=2+2=4$; à escola: $|3-1|+|4-4|=2+0=2$, diferente. A opção 4 e E (rua 4 com rua E) teria $x=5$, $y=4$: distância ao pai: $|5-5|+|4-2|=0+2=2$; à mãe: $|5-5|+|4-6|=0+2=2$; à escola: $|5-1|+|4-4|=4+0=4$, diferente. A opção 5 e C (rua 5 com rua C) teria $x=3$, $y=5$: distância ao pai: $|3-5|+|5-2|=2+3=5$; à mãe: $|3-5|+|5-6|=2+1=3$; à escola: $|3-1|+|5-4|=2+1=3$, diferentes. Portanto, apenas a interseção da rua 4 com a rua D atende.