Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5c05
O HPV é uma doença sexualmente transmissível. Uma vacina com eficácia de 98% foi criada com o objetivo de prevenir a infecção por HPV e, dessa forma, reduzir o número de pessoas que venham a desenvolver câncer de colo de útero. Uma campanha de vacinação foi lançada em 2014 pelo SUS, para um público-alvo de meninas de 11 a 13 anos de idade. Considera-se que, em uma população não vacinada, o HPV acomete 50% desse público ao longo de suas vidas. Em certo município, a equipe coordenadora da campanha decidiu vacinar meninas entre 11 e 13 anos de idade em quantidade suficiente para que a probabilidade de uma menina nessa faixa etária, escolhida ao acaso, vir a desenvolver essa doença seja, no máximo, de 5,9%. Houve cinco propostas de cobertura, de modo a atingir essa meta:
Proposta I: vacinação de 90% do público-alvo.
Proposta II: vacinação de 55,8% do público-alvo.
Proposta III: vacinação de 88,2% do público-alvo.
Proposta IV: vacinação de 49% do público-alvo.
Proposta V: vacinação de 95,9% do público-alvo.
Para diminuir os custos, a proposta escolhida deveria ser também aquela que vacinasse a menor quantidade possível de pessoas.
A proposta implementada foi a de número
I
II
III
IV
V
Explicación Oficial / Explicaciones de la Comunidad
A questão envolve o cálculo da probabilidade de uma menina desenvolver a doença após a vacinação. A vacina tem eficácia de 98%, ou seja, reduz o risco de infecção em 98%. Em uma população não vacinada, a probabilidade de uma menina ser acometida pelo HPV ao longo da vida é de 50% (0,5). Se uma fração p do público-alvo for vacinada, a probabilidade de uma menina escolhida ao acaso desenvolver a doença é a soma da probabilidade de ela não ser vacinada (probabilidade 1−p) vezes a probabilidade de desenvolver sem vacina (0,5) mais a probabilidade de ser vacinada (p) vezes a probabilidade de desenvolver mesmo vacinada (que é 0,5×(1−0,98)=0,5×0,02=0,01). Assim, a probabilidade total é P=(1−p)×0,5+p×0,01. Queremos P≤0,059. Resolvendo: 0,5(1−p)+0,01p≤0,059⇒0,5−0,5p+0,01p≤0,059⇒0,5−0,49p≤0,059⇒−0,49p≤−0,441⇒p≥0,9. Portanto, é necessário vacinar pelo menos 90% do público-alvo. A proposta que atende a esse requisito com a menor cobertura é a de 90% (Proposta I). As demais propostas (II, III, IV, V) têm coberturas inferiores a 90% (55,8%, 88,2%, 49%, 95,9%? Na verdade 95,9% é maior que 90%, mas a questão pede a menor quantidade possível de pessoas, e 90% é menor que 95,9%, então a proposta I é a que vacina menos pessoas dentre as que atingem a meta. A proposta V vacina 95,9%, que é maior que 90%, então não é a menor. As propostas II, III e IV têm coberturas abaixo de 90%, portanto não atingem a meta de probabilidade máxima de 5,9%. Assim, a resposta correta é a proposta I.