Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5c05

Enunciado da Questão

Matemática e suas Tecnologias

#Probabilidade

Médio

O HPV é uma doença sexualmente transmissível. Uma vacina com eficácia de 98% foi criada com o objetivo de prevenir a infecção por HPV e, dessa forma, reduzir o número de pessoas que venham a desenvolver câncer de colo de útero. Uma campanha de vacinação foi lançada em 2014 pelo SUS, para um público-alvo de meninas de 11 a 13 anos de idade. Considera-se que, em uma população não vacinada, o HPV acomete 50% desse público ao longo de suas vidas. Em certo município, a equipe coordenadora da campanha decidiu vacinar meninas entre 11 e 13 anos de idade em quantidade suficiente para que a probabilidade de uma menina nessa faixa etária, escolhida ao acaso, vir a desenvolver essa doença seja, no máximo, de 5,9%. Houve cinco propostas de cobertura, de modo a atingir essa meta:

Proposta I: vacinação de 90% do público-alvo.
Proposta II: vacinação de 55,8% do público-alvo.
Proposta III: vacinação de 88,2% do público-alvo.
Proposta IV: vacinação de 49% do público-alvo.
Proposta V: vacinação de 95,9% do público-alvo.

Para diminuir os custos, a proposta escolhida deveria ser também aquela que vacinasse a menor quantidade possível de pessoas.

A proposta implementada foi a de número

Correta

III

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

A questão envolve o cálculo da probabilidade de uma menina desenvolver a doença após a vacinação. A vacina tem eficácia de 98%, ou seja, reduz o risco de infecção em 98%. Em uma população não vacinada, a probabilidade de uma menina ser acometida pelo HPV ao longo da vida é de 50% (0,5). Se uma fração $p$ do público-alvo for vacinada, a probabilidade de uma menina escolhida ao acaso desenvolver a doença é a soma da probabilidade de ela não ser vacinada (probabilidade $1 - p$ ) vezes a probabilidade de desenvolver sem vacina (0,5) mais a probabilidade de ser vacinada ( $p$ ) vezes a probabilidade de desenvolver mesmo vacinada (que é $0, 5 \times (1 - 0, 98) = 0, 5 \times 0, 02 = 0, 01$ ). Assim, a probabilidade total é $P = (1 - p) \times 0, 5 + p \times 0, 01$ . Queremos $P \leq 0, 059$ . Resolvendo: $0, 5 (1 - p) + 0, 01 p \leq 0, 059 \Rightarrow 0, 5 - 0, 5 p + 0, 01 p \leq 0, 059 \Rightarrow 0, 5 - 0, 49 p \leq 0, 059 \Rightarrow - 0, 49 p \leq - 0, 441 \Rightarrow p \geq 0, 9$ . Portanto, é necessário vacinar pelo menos 90% do público-alvo. A proposta que atende a esse requisito com a menor cobertura é a de 90% (Proposta I). As demais propostas (II, III, IV, V) têm coberturas inferiores a 90% (55,8%, 88,2%, 49%, 95,9%? Na verdade 95,9% é maior que 90%, mas a questão pede a menor quantidade possível de pessoas, e 90% é menor que 95,9%, então a proposta I é a que vacina menos pessoas dentre as que atingem a meta. A proposta V vacina 95,9%, que é maior que 90%, então não é a menor. As propostas II, III e IV têm coberturas abaixo de 90%, portanto não atingem a meta de probabilidade máxima de 5,9%. Assim, a resposta correta é a proposta I.