Pregunta de Matemática e suas Tecnologias #019e5bea

A questão envolve um triângulo mágico com números de $1$ a $6$ nos círculos, sem repetição, e a condição de que os números nos vértices estão em progressão aritmética de razão $2$. As possíveis progressões aritméticas de razão $2$ com números de $1$ a $6$ são: $(1,3,5)$ e $(2,4,6)$. Para cada uma, devemos distribuir os números restantes nos círculos dos lados de modo que as somas em cada lado sejam iguais.

Caso 1: Vértices $(1,3,5)$
Os números restantes são $2,4,6$. Seja $S$ a soma de cada lado. Cada lado contém dois vértices e um número do meio. A soma total dos três lados é $(1+3+5)+2\cdot (2+4+6)=9+2\cdot 12=33$, mas cada lado é contado uma vez, então $3S=33⟹S=11$. Verificando se é possível: colocar $2$ entre $1$ e $3$ dá soma $1+2+3=6$, não $11$. Tentando outras combinações, a única forma de obter $S=11$ é: lado com vértices $1$ e $5$ precisa de número $5$ (mas $5$ já usado) ou $1+5+?=11⟹?=5$ (impossível). Na verdade, com vértices $(1,3,5)$, a soma de cada lado deve ser $11$, e é possível: colocar $6$ entre $1$ e $5$ ($1+6+5=12$, não $11$). A solução correta é: vértices $1,3,5$; lados: entre $1$ e $3$ coloca $6$ (soma $10$), entre $3$ e $5$ coloca $2$ (soma $10$), entre $5$ e $1$ coloca $4$ (soma $10$). Isso dá soma $10$, não $11$. Então $S=10$ é possível. Verificando: $1+6+3=10$, $3+2+5=10$, $5+4+1=10$. Portanto, uma solução com soma $10$.

Caso 2: Vértices $(2,4,6)$
Números restantes: $1,3,5$. Soma total: $(2+4+6)+2\cdot (1+3+5)=12+2\cdot 9=30⟹3S=30⟹S=10$. Tentando: entre $2$ e $4$ coloca $5$ (soma $11$), entre $4$ e $6$ coloca $1$ (soma $11$), entre $6$ e $2$ coloca $3$ (soma $11$). Isso dá soma $11$. Portanto, outra solução com soma $11$.

Assim, há duas soluções possíveis: uma com soma $10$ (vértices $1,3,5$) e outra com soma $11$ (vértices $2,4,6$). A alternativa que afirma exatamente isso é a correta. As demais alternativas ou indicam apenas uma solução ou somas diferentes.