Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5bea

Enunciado da Questão

Matemática e suas Tecnologias

#Progressão Aritmética

Médio

O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais

Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2. Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a $7$ .

Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a $9$ .

Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a $7$ e outra em que as somas são iguais a $9$ .

Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a $9$ e outra em que as somas são iguais a $12$ .

Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a $10$ e outra em que as somas são iguais a $11$ .

Correta

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

A questão envolve um triângulo mágico com números de $1$ a $6$ nos círculos, sem repetição, e a condição de que os números nos vértices estão em progressão aritmética de razão $2$ . As possíveis progressões aritméticas de razão $2$ com números de $1$ a $6$ são: $(1, 3, 5)$ e $(2, 4, 6)$ . Para cada uma, devemos distribuir os números restantes nos círculos dos lados de modo que as somas em cada lado sejam iguais.

Caso 1: Vértices $(1, 3, 5)$
Os números restantes são $2, 4, 6$ . Seja $S$ a soma de cada lado. Cada lado contém dois vértices e um número do meio. A soma total dos três lados é $(1 + 3 + 5) + 2 \cdot (2 + 4 + 6) = 9 + 2 \cdot 12 = 33$ , mas cada lado é contado uma vez, então $3 S = 33 ⟹ S = 11$ . Verificando se é possível: colocar $2$ entre $1$ e $3$ dá soma $1 + 2 + 3 = 6$ , não $11$ . Tentando outras combinações, a única forma de obter $S = 11$ é: lado com vértices $1$ e $5$ precisa de número $5$ (mas $5$ já usado) ou $1 + 5 + ? = 11 ⟹ ? = 5$ (impossível). Na verdade, com vértices $(1, 3, 5)$ , a soma de cada lado deve ser $11$ , e é possível: colocar $6$ entre $1$ e $5$ ( $1 + 6 + 5 = 12$ , não $11$ ). A solução correta é: vértices $1, 3, 5$ ; lados: entre $1$ e $3$ coloca $6$ (soma $10$ ), entre $3$ e $5$ coloca $2$ (soma $10$ ), entre $5$ e $1$ coloca $4$ (soma $10$ ). Isso dá soma $10$ , não $11$ . Então $S = 10$ é possível. Verificando: $1 + 6 + 3 = 10$ , $3 + 2 + 5 = 10$ , $5 + 4 + 1 = 10$ . Portanto, uma solução com soma $10$ .

Caso 2: Vértices $(2, 4, 6)$
Números restantes: $1, 3, 5$ . Soma total: $(2 + 4 + 6) + 2 \cdot (1 + 3 + 5) = 12 + 2 \cdot 9 = 30 ⟹ 3 S = 30 ⟹ S = 10$ . Tentando: entre $2$ e $4$ coloca $5$ (soma $11$ ), entre $4$ e $6$ coloca $1$ (soma $11$ ), entre $6$ e $2$ coloca $3$ (soma $11$ ). Isso dá soma $11$ . Portanto, outra solução com soma $11$ .

Assim, há duas soluções possíveis: uma com soma $10$ (vértices $1, 3, 5$ ) e outra com soma $11$ (vértices $2, 4, 6$ ). A alternativa que afirma exatamente isso é a correta. As demais alternativas ou indicam apenas uma solução ou somas diferentes.