Pregunta de Ciências da Natureza e suas Tecnologias #019f6986

Esta questão foi anulada oficialmente no ENEM 2018 devido a um erro de digitação na alternativa que deveria ser a correta (Alternativa E).

Para compreender a resolução, vamos analisar as restrições de cada uma das 6 linhas do painel (cada uma contendo 5 posições, totalizando 30 placas correspondentes aos 30 campeonatos disputados de 1989 a 2018):

1. Total de Edições/Placas:
   De 1989 a 2018, foram realizadas $2018-1989+1=30$ edições da Copa do Brasil. Logo, temos 30 placas exclusivas no total.

2. Primeira Linha (apenas clubes gaúchos):

   • Os clubes gaúchos campeões até 2018 são: Grêmio (5 títulos), Internacional (1 título) e Juventude (1 título).
   • Total de placas disponíveis: $5+1+1=7$ placas.
   • Devemos escolher e organizar 5 dessas placas na primeira linha.
   • Quantidade de maneiras: Arranjo de 7 elementos tomados 5 a 5:
     $A_{7,5}=\frac{7!}{(7-5)!}=\frac{7!}{2!}$

3. Segunda Linha (apenas clubes cariocas):

   • Os clubes cariocas campeões até 2018 são: Flamengo (3 títulos), Vasco (1 título) e Fluminense (1 título).
   • Total de placas disponíveis: $3+1+1=5$ placas.
   • Devemos organizar todas as 5 placas na segunda linha.
   • Quantidade de maneiras: Permutação de 5 elementos:
     $P_5=5!$

4. Terceira Linha (apenas clubes mineiros):

   • Os clubes mineiros campeões até 2018 são: Cruzeiro (6 títulos) e Atlético Mineiro (1 título).
   • Total de placas disponíveis: $6+1=7$ placas.
   • Devemos escolher e organizar 5 dessas placas na terceira linha.
   • Quantidade de maneiras: Arranjo de 7 elementos tomados 5 a 5:
     $A_{7,5}=\frac{7!}{2!}$

5. Quarta Linha (apenas clubes paulistas):

   • Os clubes paulistas campeões até 2018 são: Corinthians (3 títulos), Palmeiras (3 títulos), Santos (1 título), Paulista FC (1 título) e Santo André (1 título).
   • Total de placas disponíveis: $3+3+1+1+1=9$ placas.
   • Devemos escolher e organizar 5 dessas placas na quarta linha.
   • Quantidade de maneiras: Arranjo de 9 elementos tomados 5 a 5:
     $A_{9,5}=\frac{9!}{(9-5)!}=\frac{9!}{4!}$

6. Duas Últimas Linhas (sem restrições):

   • Das 30 placas totais, já posicionamos 20 placas (5 em cada uma das 4 primeiras linhas).
   • Restam $30-20=10$ placas para serem dispostas nas 10 posições restantes das duas últimas linhas.
   • Quantidade de maneiras: Permutação das 10 placas restantes:
     $P_{10}=10!$

7. Cálculo do Total de Painéis Diferentes:
   Pelo Princípio Fundamental da Contagem (multiplicativo), o total de maneiras é:
   $\text{Total}=\frac{7!}{2!}\cdot 5!\cdot \frac{7!}{2!}\cdot \frac{9!}{4!}\cdot 10!$

O Erro na Questão:
A alternativa que pretendia representar esse resultado era a E:
$\frac{9!}{3!}\cdot 5!\cdot \frac{7!}{2!}\cdot \frac{9!}{4!}\cdot 10!$

Note que o primeiro termo foi digitado incorretamente como $\frac{9!}{3!}$ em vez de $\frac{7!}{2!}$. Como nenhuma outra alternativa apresentava a expressão correta, a questão teve de ser anulada.