Questão de Ciências da Natureza e suas Tecnologias #019f6986

Enunciado da Questão

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

#Química Orgânica

Médio

A Copa do Brasil teve, até a edição de 2018, 15 times diferentes como campeões da competição, conforme apresentado na imagem. Suponha que, como homenagem aos times campeões, a Confederação Brasileira de Futebol (CBF) pretenda colocar um painel na sua sede. Esse painel teria 6 linhas e, em cada uma delas, 5 placas, referentes a cada edição da competição, com o nome do time vencedor, o brasão e o ano do título. O painel deve ser fabricado de modo que a primeira linha só tenha clubes gaúchos (Internacional, Grêmio e Juventude); a segunda, apenas times cariocas (Flamengo, Vasco e Fluminense); a terceira, somente times mineiros (Cruzeiro e Atlético Mineiro); a quarta, exclusivamente clubes paulistas (Corinthians, Palmeiras, Santos, Paulista FC, Santo André), e as duas últimas sem nenhuma restrição.

Disponível em: http://campeoesdofutebol.com.br. Acesso em: 1 nov. 2018 (adaptado).

Qual expressão determina a quantidade de painéis diferentes que a CBF poderá montar?

$\frac{7 !}{5 !} \cdot \frac{5 !}{3 !} \cdot \frac{7 !}{6 !} \cdot \frac{9 !}{3 ! \cdot 3 !} \cdot 10!$

Correta

$7! \cdot 5! \cdot 7! \cdot 9! \cdot 10!$

$30!$

$\frac{7 !}{5 ! \cdot 5 !} \cdot \frac{7 !}{5 ! \cdot 2 !} \cdot \frac{9 !}{5 ! \cdot 4 !}$

$\frac{9 !}{3 !} \cdot 5! \cdot \frac{7 !}{2 !} \cdot \frac{9 !}{4 !} \cdot 10!$

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

Esta questão foi anulada oficialmente no ENEM 2018 devido a um erro de digitação na alternativa que deveria ser a correta (Alternativa E).

Para compreender a resolução, vamos analisar as restrições de cada uma das 6 linhas do painel (cada uma contendo 5 posições, totalizando 30 placas correspondentes aos 30 campeonatos disputados de 1989 a 2018):

Total de Edições/Placas:
De 1989 a 2018, foram realizadas $2018 - 1989 + 1 = 30$ edições da Copa do Brasil. Logo, temos 30 placas exclusivas no total.
Primeira Linha (apenas clubes gaúchos):
- Os clubes gaúchos campeões até 2018 são: Grêmio (5 títulos), Internacional (1 título) e Juventude (1 título).
- Total de placas disponíveis: $5 + 1 + 1 = 7$ placas.
- Devemos escolher e organizar 5 dessas placas na primeira linha.
- Quantidade de maneiras: Arranjo de 7 elementos tomados 5 a 5:
  $A_{7, 5} = \frac{7 !}{( 7 - 5 )!} = \frac{7 !}{2 !}$
Segunda Linha (apenas clubes cariocas):
- Os clubes cariocas campeões até 2018 são: Flamengo (3 títulos), Vasco (1 título) e Fluminense (1 título).
- Total de placas disponíveis: $3 + 1 + 1 = 5$ placas.
- Devemos organizar todas as 5 placas na segunda linha.
- Quantidade de maneiras: Permutação de 5 elementos:
  $P_{5} = 5!$
Terceira Linha (apenas clubes mineiros):
- Os clubes mineiros campeões até 2018 são: Cruzeiro (6 títulos) e Atlético Mineiro (1 título).
- Total de placas disponíveis: $6 + 1 = 7$ placas.
- Devemos escolher e organizar 5 dessas placas na terceira linha.
- Quantidade de maneiras: Arranjo de 7 elementos tomados 5 a 5:
  $A_{7, 5} = \frac{7 !}{2 !}$
Quarta Linha (apenas clubes paulistas):
- Os clubes paulistas campeões até 2018 são: Corinthians (3 títulos), Palmeiras (3 títulos), Santos (1 título), Paulista FC (1 título) e Santo André (1 título).
- Total de placas disponíveis: $3 + 3 + 1 + 1 + 1 = 9$ placas.
- Devemos escolher e organizar 5 dessas placas na quarta linha.
- Quantidade de maneiras: Arranjo de 9 elementos tomados 5 a 5:
  $A_{9, 5} = \frac{9 !}{( 9 - 5 )!} = \frac{9 !}{4 !}$
Duas Últimas Linhas (sem restrições):
- Das 30 placas totais, já posicionamos 20 placas (5 em cada uma das 4 primeiras linhas).
- Restam $30 - 20 = 10$ placas para serem dispostas nas 10 posições restantes das duas últimas linhas.
- Quantidade de maneiras: Permutação das 10 placas restantes:
  $P_{10} = 10!$
Cálculo do Total de Painéis Diferentes:
Pelo Princípio Fundamental da Contagem (multiplicativo), o total de maneiras é:
$Total = \frac{7 !}{2 !} \cdot 5! \cdot \frac{7 !}{2 !} \cdot \frac{9 !}{4 !} \cdot 10!$

O Erro na Questão:
A alternativa que pretendia representar esse resultado era a E:
$\frac{9 !}{3 !} \cdot 5! \cdot \frac{7 !}{2 !} \cdot \frac{9 !}{4 !} \cdot 10!$

Note que o primeiro termo foi digitado incorretamente como $\frac{9 !}{3 !}$ em vez de $\frac{7 !}{2 !}$ . Como nenhuma outra alternativa apresentava a expressão correta, a questão teve de ser anulada.