Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5c01

Enunciado da Questão

Matemática e suas Tecnologias

#Função Exponencial e Logaritmos

Médio

Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de $100 bilh \overset{o}{˜} es$ .
Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado.
Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo $100.000$ transistores distribuídos em $0, 25 cm^{2}$ de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).
Considere $0, 30$ como aproximação para $lo g 2$ .

Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de $100 bilh \overset{o}{˜} es$ de transistores?

1999

2002

2022

Correta

2026

2146

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

A densidade inicial em 1986 é de $\frac{100.000 transistores}{0 , 25 cm ^{2}} = 400.000 transistores/cm^{2}$ . A densidade dobra a cada $2$ anos, então após $t$ períodos de $2$ anos, a densidade é $400.000 \cdot 2^{t}$ . Queremos que essa densidade seja $100 bilh \overset{o}{˜} es = 1 0^{11}$ . Então $400.000 \cdot 2^{t} = 1 0^{11} \Rightarrow 2^{t} = \frac{1 0 ^{11}}{400.000} = 250.000 = 2, 5 \times 1 0^{5}$ . Aplicando $lo g$ : $t \cdot lo g 2 = lo g (2, 5 \times 1 0^{5}) = lo g 2, 5 + 5$ . Como $lo g 2 \approx 0, 30$ , temos $t \cdot 0, 30 = lo g 2, 5 + 5$ . $lo g 2, 5 = lo g (\frac{10}{4}) = 1 - 2 \cdot lo g 2 \approx 1 - 0, 60 = 0, 40$ . Então $t \cdot 0, 30 = 0, 40 + 5 = 5, 40 \Rightarrow t = \frac{5 , 40}{0 , 30} = 18$ . Portanto, são $18$ períodos de $2$ anos, totalizando $36$ anos. $Ano = 1986 + 36 = 2022$ . A alternativa que aponta $2022$ está correta. As demais alternativas ( $1999$ , $2002$ , $2026$ , $2146$ ) resultam de erros comuns: $1999$ e $2002$ subestimam o crescimento, $2026$ superestima ligeiramente, e $2146$ é um valor muito distante.