Questão de Ciências da Natureza e suas Tecnologias #019e5c03

Enunciado da Questão

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

#Mecânica

Médio

Uma invenção que significou um grande avanço tecnológico na Antiguidade, a polia composta ou a associação de polias, é atribuída a Arquimedes (287 a.C. a 212 a.C.). O aparato consiste em associar uma série de polias móveis a uma polia fixa. A figura exemplifica um arranjo possível para esse aparato. É relatado que Arquimedes teria demonstrado para o rei Hierão um outro arranjo desse aparato, movendo sozinho, sobre a areia da praia, um navio repleto de passageiros e cargas, algo que seria impossível sem a participação de muitos homens. Suponha que a massa do navio era de 3 000 kg, que o coeficiente de atrito estático entre o navio e a areia era de 0,8 e que Arquimedes tenha puxado o navio com uma força F, paralela à direção do movimento e de módulo igual a 400 N. Considere os fios e as polias ideais, a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e que a superfície da praia é perfeitamente horizontal.

O número mínimo de polias móveis usadas, nessa situação, por Arquimedes foi

Correta

10.

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

Para mover o navio, a força de tração $F$ aplicada por Arquimedes deve vencer a força de atrito estático máxima. A força de atrito é $F_{a t} = μ \cdot N = μ \cdot m \cdot g = 0, 8 \cdot 3000 \cdot 10 = 24000 N$ . Com uma associação de $n$ polias móveis, a força necessária na corda é reduzida por um fator $2^{n}$ (considerando polias ideais). Assim, $F = \frac{F _{a t}}{2 ^{n}}$ . Substituindo $F = 400 N$ e $F_{a t} = 24000 N$ , temos $400 = \frac{24000}{2 ^{n}} \Rightarrow 2^{n} = \frac{24000}{400} = 60$ . O menor $n$ inteiro que satisfaz $2^{n} \geq 60$ é $n = 6$ , pois $2^{5} = 32 < 60$ e $2^{6} = 64 \geq 60$ . Portanto, são necessárias no mínimo 6 polias móveis. As alternativas com 3, 7, 8 e 10 polias estão incorretas: 3 polias dariam $2^{3} = 8$ , insuficiente; 7, 8 e 10 dariam fator maior que o necessário, mas não são o mínimo.