Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5c03

Enunciado da Questão

Matemática e suas Tecnologias

#Geometria Analítica e Função Quadrática

Médio

Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:
y = 9 − x², sendo x e y medidos em metros.
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é igual a 2/3 da área do retângulo cujas dimensões são, respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.

Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?

Correta

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

A área sob a parábola $y = 9 - x^{2}$ é igual a $\frac{2}{3}$ da área do retângulo cuja base é a distância entre as raízes da parábola e cuja altura é o valor máximo de $y$ . As raízes são $x = \pm 3$ , então a base mede $6$ metros. A altura máxima é $9$ metros (quando $x = 0$ ). A área do retângulo é $6 \times 9 = 54$ m². Portanto, a área sob a parábola é $\frac{2}{3} \times 54 = 36$ m². A alternativa que indica 36 está correta. As demais alternativas (18, 20, 45, 54) resultam de erros comuns: 18 pode vir de $\frac{1}{3} \times 54$ ; 20 de um cálculo incorreto da base ou altura; 45 de $\frac{5}{6} \times 54$ ; e 54 é a área do retângulo, não a área sob a parábola.