Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5c05

Enunciado da Questão

Matemática e suas Tecnologias

#Funções Trigonométricas

Médio

Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é escassa, com preços elevados, ora é abundante, com preços mais baixos, o que ocorre no mês de produção máxima da safra.

A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P, em reais, do quilograma de um certo produto sazonal pode ser descrito pela função $P (x) = 8 + 5 cos (\frac{π x - π}{6})$ , onde x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado ao mês de janeiro, x = 2 ao mês de fevereiro, e assim sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro.

Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado).

Na safra, o mês de produção máxima desse produto é

janeiro.

abril.

junho.

julho.

Correta

outubro.

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

A função que descreve o preço é $P (x) = 8 + 5 cos (\frac{π x - π}{6})$ . O preço mínimo ocorre quando o cosseno é mínimo, ou seja, $- 1$ . Isso acontece quando $\frac{π x - π}{6} = π + 2 k π$ (pois $cos (π) = - 1$ ). Resolvendo: $\frac{π x - π}{6} = π \Rightarrow π x - π = 6 π \Rightarrow π x = 7 π \Rightarrow x = 7$ . Portanto, o mês de produção máxima (preço mínimo) é julho ( $x = 7$ ). As demais alternativas não satisfazem a equação: janeiro ( $x = 1$ ) resulta em $cos (0) = 1$ , preço máximo; abril ( $x = 4$ ) resulta em $cos (π /2) = 0$ ; junho ( $x = 6$ ) resulta em $cos (5 π /6) = - 3 /2$ ; outubro ( $x = 10$ ) resulta em $cos (3 π /2) = 0$ .