Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5c07

Enunciado da Questão

Matemática e suas Tecnologias

#Análise Combinatória

Médio

O diretor de uma escola convidou os $280$ alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem $5$ objetos e $6$ personagens numa casa de $9$ cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há

O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há

$10$ alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

Correta

$20$ alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

$119$ alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

$260$ alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

$270$ alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

A questão envolve o princípio da casa dos pombos (ou princípio do pombal). O número total de possibilidades (respostas distintas) é dado pelo produto do número de objetos, personagens e cômodos: $5 \cdot 6 \cdot 9 = 270$ . Como há $280$ alunos, e cada aluno dá uma resposta diferente, após $270$ respostas distintas, a próxima resposta (a $27 1^{a}$ ) necessariamente repetirá uma das possibilidades, mas como as respostas devem ser distintas, o aluno que der a resposta correta estará entre os $270$ primeiros? Na verdade, o princípio garante que se houver mais alunos do que possibilidades, pelo menos um aluno acertará, pois todas as possibilidades serão esgotadas. O número de alunos a mais é $280 - 270 = 10$ . Portanto, a alternativa correta é a que indica $10$ alunos a mais. As demais alternativas ( $20$ , $119$ , $260$ , $270$ ) estão incorretas porque não correspondem à diferença correta entre o número de alunos e o número de possibilidades.