Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5c08

Enunciado da Questão

Matemática e suas Tecnologias

#Geometria Analítica

Médio

Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana... A reta de equação $y = x + 4$ representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo... No ponto $P = (- 5, 5)$ , localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que $5$ km.

Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto

$(- 5, 0)$

$(- 3, 1)$

Correta

$(- 2, 1)$

$(0, 4)$

$(2, 6)$

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

A questão pede qual ponto, dentre as opções, está a uma distância do hospital $P (- 5, 5)$ menor ou igual a $5$ km, e que também pertença à reta $y = x + 4$ (percurso do metrô). Calculando a distância de cada ponto a $P$ :

$(- 5, 0)$ : $d = (- 5 + 5)^{2} + (0 - 5)^{2} = 0 + 25 = 5$ km. Pertence à reta? $0 = - 5 + 4 = - 1$ (não).
$(- 3, 1)$ : $d = (- 3 + 5)^{2} + (1 - 5)^{2} = 4 + 16 = 20 \approx 4, 47$ km ( $< 5$ ). Pertence à reta? $1 = - 3 + 4 = 1$ (sim). Portanto, é a resposta correta.
$(- 2, 1)$ : $d = (- 2 + 5)^{2} + (1 - 5)^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ km. Pertence à reta? $1 = - 2 + 4 = 2$ (não).
$(0, 4)$ : $d = (0 + 5)^{2} + (4 - 5)^{2} = 25 + 1 = 26 \approx 5, 1$ km ( $> 5$ ). Pertence à reta? $4 = 0 + 4 = 4$ (sim), mas distância maior que $5$ .
$(2, 6)$ : $d = (2 + 5)^{2} + (6 - 5)^{2} = 49 + 1 = 50 \approx 7, 07$ km ( $> 5$ ). Pertence à reta? $6 = 2 + 4 = 6$ (sim), mas distância maior que $5$ .

Apenas o ponto $(- 3, 1)$ satisfaz ambas as condições: distância menor que $5$ km e pertencer à reta.