Questão de Matemática e suas Tecnologias #019e5c01

Enunciado da Questão

Matemática e suas Tecnologias

#Geometria Espacial e Razão entre Áreas

Médio

A Ecofont possui design baseado na velha fonte Vera Sans. Porém, ela tem um diferencial: pequenos buraquinhos circulares congruentes, e em todo o seu corpo, presentes em cada símbolo. Esses furos proporcionam um gasto de tinta menor na hora da impressão.

Disponível em: www.goo.gl. Acesso em: 2 dez. 2017 (adaptado).

Suponha que a palavra ECO esteja escrita nessa fonte, com tamanho 192, e que seja composta por letras formadas por quadrados de lados $x$ com furos circulares de raio $r = \frac{x}{3}$ . Para que a área a ser pintada seja reduzida a $\frac{1}{16}$ da área inicial, pretende-se reduzir o tamanho da fonte. Sabe-se que, ao alterar o tamanho da fonte, o tamanho da letra é alterado na mesma proporção.

Nessas condições, o tamanho adequado da fonte será

64.

48.

Correta

24.

21.

12.

Explicação Oficial / Explicações da Comunidade

Ao alterar o tamanho da fonte, todas as suas dimensões lineares (como o lado do quadrado $x$ e o raio $r$ ) são multiplicadas por um fator de escala $k$ . Como a área de uma figura bidimensional é proporcional ao quadrado de suas dimensões lineares, a área pintada final será proporcional a $k^{2}$ vezes a área inicial.

Para que a área a ser pintada seja reduzida a $\frac{1}{16}$ da área inicial, devemos ter:
$k^{2} = \frac{1}{16} ⟹ k = \frac{1}{4}$

Como o tamanho original da fonte é 192 e o tamanho da fonte é alterado na mesma proporção das dimensões das letras, o novo tamanho da fonte será:
$Novo tamanho = 192 \cdot k = 192 \cdot \frac{1}{4} = 48$

A alternativa que aponta 64 está incorreta porque corresponde a uma redução para $\frac{1}{9}$ da área inicial ( $k = \frac{1}{3}$ ).
A alternativa que aponta 24 está incorreta porque corresponde a uma redução para $\frac{1}{64}$ da área inicial ( $k = \frac{1}{8}$ ).
As alternativas 21 e 12 representam reduções lineares ainda maiores e desproporcionais ao exigido.